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== <span id="LinearRing">[http://www.schemacentral.com/sc/niem21/e-gml32_LinearRing.html gml:LinearRing]</span> ==

== <span id="LinearRing">[http://www.schemacentral.com/sc/niem21/e-gml32_LinearRing.html gml:LinearRing]</span> ==

Der Linear Ring ist das grundlegende Element zur Geometriebeschreibung in CityGML. Jedes einzelne Polygon einer Gebäudegeometrie wird durch seinen Umring definiert. Eben dieser Umring wird durch das Element „Linear Ring“ beschrieben.

The Linear Ring is the fundamental element to describe 3D geometry in CityGML. Every single polygon of a building geometry is defined by its boundary – the Linear Ring.  

Zur formalen Definition des Linear Ring muss zunächst der Begriff der Sequenz eingeführt werden. Eine Sequenz ist eine geordnete Liste von Elementen. Im Gegensatz zu einer Menge ist die Reihenfolge der Elemente in einer Sequenz von Bedeutung. Ebenso kann in einer Sequenz ein Element mehrfach vorkommen. Eine endliche Sequenz <math>a</math> mit   <math>n+1</math> Elementen wird durch die Elemente der Sequenz beschrieben: <math>a=(a_0,a_1,...,a_n)</math>. Die leere Sequenz <math>a=()</math> hat keine Elemente.

A sequence is an ordered list of elements. Unlike a set, order matters, and the exact same elements can appear multiple times at different positions in the sequence. A finite sequence <math>a</math> with   <math>n+1</math> elements is denoted as  <math>a=(a_0,a_1,...,a_n)</math>. The empty sequence <math>a=()</math> has no elements..

Eine endliche Sequenz von Punkten <math>R=(P_0,P_1,...,P_n),n\ge3,P_i=(x_i,y_i,z_i)</math> ist ein Linear Ring genau dann, wenn gilt:  

A finite sequence of points <math>R=(P_0,P_1,...,P_n),n\ge3,P_i=(x_i,y_i,z_i)</math> is a Linear Ring if:  

(i) Der erste und der letzte Punkt der Sequenz sind identisch: <math>P_0 =P_n </math> '''(closeness)'''

(i) the first and last point <math>P_0</math> and <math>P_nV</math> represent the same point: <math>P_0 =P_n </math> '''(closeness)'''

(ii) Mit Ausnahme des ersten und letzten Punktes sind alle Punkte verschieden, d.h.  

(ii) Mit Ausnahme des ersten und letzten Punktes sind alle Punkte verschieden, d.h.