Changes

=== <span id="PlanarityOfPolygons">Planarity of Polygons</span> ===

=== <span id="PlanarityOfPolygons">Planarity of Polygons</span> ===

Im CityGML müssen Polygone von einem planaren linearen Ring begrenzt sein . Aus praktischen Erwägungen werden auch Linear Ring Elemente, deren Punkte, die nicht exakt auf einer Ebene liegen sondern minimal davon abweichen, als planar akzeptiert. Intuitiv würde man fordern, dass ein Linearer Ring  planar ist, wenn es eine Ebene E gibt, so dass die Distanz aller Punkte des Rings zu E einen gegebenen Grenzwert  nicht überschreitet. Diese Ebene E kann über eine Ausgleichung aller Punkte aus R ermittelt werden, etwa durch Minimierung der maximalen Abstände von Punkten in R zu E (Ausgleichung gemäß Maximumsnorm) oder durch Minimierung der Quadrate der Abstände (Ausgleichung nach Gauß).  

„Surfaces in CityGML are represented by polygons, which define a planar geometry, i.e. the boundary and all interior points are required to be located in one single plane.” (Gröger et al., 2008). The boundary of a Polygon is defined by one or more planar Linear Rings (see gml:Polygon). From practical point of view, Linear Rings that are not exactly planar should be accepted as a valid as well.

Problematisch bei dieser Definition ist, dass auch minimale Knicke und Falten, wie in Abbildung 6 dargestellt, als planar akzeptiert werden. Dies entspricht aber in der Regel nicht dem intuitiven Verständnis einer planaren Fläche.

Intuitively, a Linear Ring R would be defined as planar if there is a plane E with distance  less than a given threshold  for all points Pi of R. However, this is true for Linear Rings with small bends and folds as shown in Figure 3 as well.

<table width="900px"  border="0" cellspacing="0">

<table width="900px"  border="0" cellspacing="0">